Ideas de conjuntos y aplicaciones en la vida diaria

agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

El concepto de Conjunto, entonces, está referido a reunir o agrupar personas, animales, plantas o cosas, para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar dichos grupos.

Conceptos básicos
Llamaremos conjunto a toda colección de objetos y elemento a cada
uno de los objetos de un conjunto.


 Un conjunto se puede definir de dos formas: por extensión (citando
cada elemento) y por comprensión (citando una propiedad que verifican todos
sus elementos).


NOTACIÓN: Utilizaremos las letras mayúsculas A, B, X,... para
denotar conjuntos y las letras minúsculas a, b, x, y,... para denotar
elementos.


a ∈ A (El elemento “a” pertenece al conjunto “A”)
a ∉ A (El elemento “a” no pertenece al conjunto “A”)
∅ = { } = conjunto vacío
= {números naturales} = {0, 1, 2, 3, 4,.....}
= {números enteros} = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
= {números racionales} = {a/b tal que a ∈ y b∈ , b ≠ 0}
= {números reales} ∋ π, e, a/b, √2
= {números complejos} = {a + bi tal que a, b ∈ }
Los conjuntos los podemos representar mediante diagramas de Venn
(regiones del plano delimitadas por una curva cerrada que encierra a los elementos
del conjunto) o bien mediante diagramas en línea (los elementos de un conjunto se
representan sobre una línea recta).
Definición
Llamaremos cardinal de un conjunto A al número de elementos de dicho conjunto y lo
representaremos por card(A). Atendiendo a esto diremos que un conjunto es finito si
card(A) es finito, en otro caso diremos que A es infinito.
Definición
Dados X e Y conjuntos, diremos que son iguales, X = Y, si están formados por los
mismos elementos.
Propiedades
La igualdad de conjuntos satisface las siguientes propiedades:
i) Reflexiva: A = A para todo conjunto A.
ii) Simétrica: Dados A y B conjuntos, A = B ⇒ B = A.
iii) Transitiva: Dados A, B y C conjuntos, A = B y B = C ⇒ A = C.
Definición
Diremos que X es un subconjunto de Y (X está contenido o incluido en Y), X ⊂ Y,


si todo elemento de X es un elemento de Y. Es decir,
X ⊂ Y ⇔ (∀x∈X ⇒ x∈Y).
Si X no está contenido en Y se denotara por X ⊄ Y. Usamos X ⊆ Y cuando X está
contenido en Y y no sabemos si son o no iguales, es decir, X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y y X ≠ Y.
Observación:

El conjunto vacío está contenido en cualquier conjunto X (∅ ⊂ X, ∀X).
Propiedades
La inclusión de conjuntos satisface las siguientes propiedades:
i) Reflexiva: A ⊂ A para todo conjunto A.
ii) Antisimétrica: Dados A y B conjuntos, A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B.
iii) Transitiva: Dados A , B y C conjuntos, A ⊂ B y B ⊂ C⇒ A ⊂ C.
A los subconjuntos de X distintos de ∅ y de X se les llama subconjuntos
propios, y a X y al ∅ se les llama subconjuntos impropios de X.
Definición
Dado un conjunto X, llamaremos conjunto de las partes de X, (X) al conjunto que
tiene por elementos a todos los subconjuntos de X, esto es, (X) = { A / A ⊂ X } .


Se tiene card( (X)) = 2card(X)
.
2.2.2 Operaciones con conjuntos
Definición
Sea X un conjunto y A, B ∈ (X), llamaremos intersección de A y B, al subconjunto
de X formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B,
A ∩ B = { x ∈ X / x ∈ A y x ∈ B} ∈ (X).
Diremos que A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.
Definición
Sea X un conjunto y A, B ∈ (X), llamaremos unión de A y B, al subconjunto de X
formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de dichos conjuntos, es
decir:
A ∪ B = { x ∈ X / x ∈ A ó x ∈ B} ∈ (X).
Definición
Sea X un conjunto y A ∈ (X), llamaremos complemento de A respecto de X, al
conjunto formado por todos los elementos de X que no pertenecen a A, es decir:

A’ =A ={ x ∈ X / x ∉ A} ∈ (X).
Propiedades
i) Conmutativa:
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A ∀A, B ∈ (X).
ii) Asociativa:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ∀A, B, C ∈ (X).
iii) Idempotencia:
A ∪ A = A A ∩ A = A ∀A ∈ (X).
iv) Elemento universal y elemento ínfimo:
A ∪ X = X A ∩ ∅ = ∅ ∀A ∈ (X). Á

v) Elemento neutro:
A ∪ ∅ = A A ∩ X = A ∀A ∈ (X).
vi) Leyes de absorción:
A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A ∀A, B ∈ (X).
vii) Distributivas:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∀A, B, C ∈ (X).
viii) Involución:
 X’= ∅ ∅‘ = X (A’)’ = A ∀A ∈ (X).
ix) Del complemento:
A ∪ A’ = X A ∩ A’ = ∅ ∀A ∈ (X).
x) Leyes de De Morgan:
(A ∪ B)’= A’ ∩ B’ (A ∩ B)’= A’ ∪ B’ ∀A, B ∈ (X).


Bibliografía:

http://www4.ujaen.es/~magarcia/algebra1inf_archivos/Tema2ap.pdf